I nostri antenati non immaginavano che quella figura geometrica perfetta celava un segreto incredibile: il fatto che nessuno sarebbe mai riuscito a stabilire una relazione calcolabile tra la lunghezza di un cerchio e la lunghezza del suo raggio. Il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann dimostrò, nel 1882, che questa relazione non poteva essere espressa da alcuna equazione algebrica. Il che vuol dire un’espressione con un numero finito di termini.

La scoperta di Lindemann fu la risposta finale al problema rimasto per secoli non risolto: perché non è possibile la quadratura del cerchio. Nonostante l’avvento dei supercomputer ancora oggi è così: nessuno sa trasformare la lunghezza di un cerchio in quella dei quattro lati di un quadrato.

Se metto un filo sottile lungo un cerchio disegnato con un compasso la cui apertura è di 10 centimetri, la lunghezza del filo sarà due volte l’apertura del compasso (diametro del cerchio) per il famoso numero pi-greco ( ) che vale circa 3,14. La lunghezza del filo risulta così 20 cm per 3,14; quindi 62,8 cm. Se lo stesso filo lo piego in quattro parti otterrò un quadrato in cui ciascun lato è lungo 15,7. Ecco realizzata la quadratura del cerchio. Come mai si dice allora che è impossibile? E che cosa ha scoperto Lindemann? Risposta: se al posto del cerchio fatto col filo mettiamo un cerchio perfetto, addio quadratura!

Immaginiamo di misurare l’apertura del compasso usando 100 pezzettini di carta, ciascuno da un millimetro: per coprire con pezzettini analoghi la lunghezza del cerchio, ne servono 628. E per fare il lato di un quadrato 157.

Questo conferma la possibilità di trasformare in un quadrato la lunghezza di un cerchio reale che è fatto con pezzettini da un millimetro. Proviamo con pezzettini più piccoli come sarebbero quelli da un centesimo di millimetro. Il raggio del cerchio è sempre 10 centimetri. Se questa lunghezza la debbo coprire usando pezzettini di carta 100 volte più piccoli, avrò bisogno di un numero di pezzettini 100 volte più grande.

Il senso comune ci farebbe pensare che per la circonferenza dovrebbe valere la stessa regola. Se aumento di 10 volte il numero di pezzettini necessari a coprire la lunghezza del raggio, dovrò aumentare di 10 volte il numero di pezzettini per coprire la lunghezza del cerchio. Quindi ce ne vorranno, invece dei 628 pezzettini da un millimetro, 100 volte di più: 62.800. I Greci scoprirono che ce ne vogliono 15 in più per un totale di 62.815. Incredibile ma vero.

Questo numero non è divisibile per quattro e si arriva alla conclusione che, usando pezzettini da un centesimo di millimetro, non è possibile trasformare la lunghezza del cerchio in quella dei quattro lati di un quadrato. Si potrebbe dire: bene, dividiamo i pezzettini ancora, facendoli da un milionesimo, un miliardesimo di millimetro. E ancora più, fino a trovare il numero giusto.

Se al posto dei pezzettini di carta da un centesimo di millimetro mettessimo il più piccolo pezzettino che si possa immaginare, piccolo a piacere, non sarà mai possibile risolvere il problema: ecco la scoperta di Lindemann. Motivo: il legame che permette il passaggio dalla lunghezza del raggio di un cerchio alla lunghezza della sua circonferenza corrisponde a un numero che non è esattamente 3,14. Come detto prima, vale circa 3,14. Però alle prime due cifre dopo la virgola fa seguito una serie senza alcuna regolarità e senza fine.